积化和差,和差化积公式推导

$\cos (\alpha +\beta )=\cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha +\beta )=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta$

两式相加,相减

$\cos (\alpha +\beta ) + \cos (\alpha – \beta )=\cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = 2\cos\alpha\cos\beta$

$\cos (\alpha +\beta ) – \cos (\alpha – \beta )=\cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta – \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta = -2\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha +\beta ) +\sin(\alpha -\beta )=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta = 2\sin\alpha\cos\beta$

$\sin(\alpha +\beta ) -\sin(\alpha -\beta )=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta -\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 2\cos\alpha\sin\beta$

整理一下可得到

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left [ \cos (\alpha +\beta ) +\cos (\alpha – \beta ) \right ]$

$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\left [\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha – \beta )\right ]$

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left [ \sin(\alpha +\beta ) +\sin(\alpha -\beta ) \right ]$

$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left [\sin(\alpha +\beta ) -\sin(\alpha -\beta )\right ]$

令 ${\alpha}’=\alpha +\beta$ ${\beta}’=\alpha -\beta$

则 $\alpha = \frac{{\alpha}’+{\beta}’}{2}$ $\beta= \frac{{\alpha}’-{\beta}’}{2}$

$\cos ({\alpha}’) +\cos ({\beta}’) =2\cos\frac{{\alpha}’+{\beta}’}{2}\cos\frac{{\alpha}’-{\beta}’}{2}$

$\cos({\alpha}’) -\cos({\beta}’) =-2\sin\frac{{\alpha}’+{\beta}’}{2}\sin\frac{{\alpha}’-{\beta}’}{2}$

$\sin({\alpha}’) +\sin({\beta}’) =2\sin\frac{{\alpha}’+{\beta}’}{2}\cos\frac{{\alpha}’-{\beta}’}{2}$

$\sin({\alpha}’) -\sin({\beta}’) =2\cos\frac{{\alpha}’+{\beta}’}{2}\sin\frac{{\alpha}’-{\beta}’}{2}$

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评论

  1. 小费同学
    Windows Chrome
    新加坡
    8月前
    2022-4-03 23:55:35

    蛤?

  2. enjoy
    Android Chrome
    台湾省台北市
    8月前
    2022-4-03 23:53:30

    帅哥=帅+帅
    哥帅=帅-帅
    哥哥=哥+哥
    负嫂嫂=哥-哥
    快速记忆方法

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