前言

$X(s)=\int_0^\infty x(t)e^{-st}\operatorname dt$
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。其有很多定理在自动控制方面有很多的应用，我们现在重点看终值定理。
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常见Laplace变换

终值定理

简单用一个公式表示就是
$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\underset{s\rightarrow0}{\lim s}F(s)$

推导过程

$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}\int_{0_-}^\infty\frac{\operatorname df(t)}{\operatorname dt}e^{-st}\operatorname dt=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0_-)\\\end{array}$
等式左边有
$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}\int_{0_-}^\infty\frac{\operatorname df(t)}{\operatorname dt}e^{-st}\operatorname dt=\int_{0_-}^\infty\operatorname df(t)=f(\infty)-f(0_-)\\\end{array}$

$\begin{array}{l}f(\infty)-f(0_-)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0_-)\\\end{array}$

$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}sF(s)=f(\infty)\\\end{array}$

求稳态误差

$e_{ssr}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_r(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\frac{E_r(s)}{R(s)}R(s)$

$e_{ssn}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_n(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\frac{E_n(s)}{N(s)}N(s)$

$e_{ss}=e_{ssr}+e_{ssn}$