Laplace变换和终值定理
本文最后更新于 2021年04月13日 已经是 606天前了 ,文章可能具有时效性,若有错误或已失效,请在下方留言

前言

$X(s)=\int_0^\infty x(t)e^{-st}\operatorname dt$
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏变换。其有很多定理在自动控制方面有很多的应用,我们现在重点看终值定理。
? 有说得不对的地方欢迎指正

常见Laplace变换

$f(t)$ $F(s)$
$\delta(t)$ $1$
$1(t)$ $\frac1s$
$t$ $\frac1{s^2}$
$e^{-at}$ $\frac1{s+a}$
$te^{-at}$ $\frac1{(s+a)^2}$
$\sin(wt)$ $\frac w{s^2+w^2}$
$\cos(wt)$ $\frac s{s^2+w^2}$
$t^n$ $\frac{n!}{s^{n+1}}$
$t^ne^{-at}$ $\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$

终值定理

简单用一个公式表示就是
$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\underset{s\rightarrow0}{\lim s}F(s)$

推导过程

$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}\int_{0_-}^\infty\frac{\operatorname df(t)}{\operatorname dt}e^{-st}\operatorname dt=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0_-)\\\end{array}$
等式左边有
$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}\int_{0_-}^\infty\frac{\operatorname df(t)}{\operatorname dt}e^{-st}\operatorname dt=\int_{0_-}^\infty\operatorname df(t)=f(\infty)-f(0_-)\\\end{array}$

$\begin{array}{l}f(\infty)-f(0_-)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0_-)\\\end{array}$

$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}sF(s)=f(\infty)\\\end{array}$

求稳态误差

适用条件
先判稳,极点均位于复平面左半平面,坐标原点处也可以有唯一的极点 $sin(t),cos(t)$不能使用,可以用定义法

$e_{ssr}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_r(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\frac{E_r(s)}{R(s)}R(s)$

$e_{ssn}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_n(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\frac{E_n(s)}{N(s)}N(s)$

$e_{ss}=e_{ssr}+e_{ssn}$

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评论

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    广东省深圳市
    1年前
    2021-11-13 15:44:32

    名字:史迪奇的博客
    LOGO:https://sdq3.gitee.io/sdq.jpg
    描述:我叫史迪奇
    链接: https://sdq3.gitee.io

    我已经添加你了,一起来学数学吧

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Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
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